Geometria euclidiana – Wikipédia, a enciclopédia livre

História

Euclides de Alexandria: Euclides foi um matemático grego que viveu por volta de 330 a.C. Ele estudou em Atenas e foi para Alexandria, no Egito, a convite do rei Ptolomeu I. Lá, ele organizou o conhecimento matemático da época de forma lógica, criando a obra "Os Elementos".
Os Elementos: Obra de Euclides dividida em treze livros, abordando aritmética, geometria e álgebra. É considerada uma das obras mais influentes da história da matemática, apresentando um método dedutivo baseado em axiomas e proposições.
Axiomas: Verdades incontestáveis usadas em todas as ciências.
Postulados: Verdades sobre um tema específico, no caso, a geometria.
Rigor Científico: Característica grega enfatizada por Euclides em sua organização lógica dos conhecimentos.
Sistema Dedutivo: Método de prova que parte de axiomas para provar outras proposições (teoremas).
Século XIX e XX: Período em que a geometria euclidiana foi estabelecida como disciplina, seguindo a axiomática de Euclides.
Geometrias Não Euclidianas: Surgiram no final do século XIX e início do XX, substituindo o modelo euclidiano.

A base da geometria euclidiana: os axiomas e postulados

Axiomas: Verdades autoevidentes que servem de base para a geometria.
- Axioma 1: Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si.
- Axioma 2: Adições iguais a iguais resultam em iguais.
- Axioma 3: Subtrações iguais de iguais resultam em iguais.
- Axioma 4: Coisas que coincidem são iguais.
- Axioma 5: O todo é maior que suas partes.
Postulados: Proposições sobre geometria que podem ser provadas.
- Postulado 1: Existência de um único segmento de reta entre dois pontos.
- Postulado 2: Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente.
- Postulado 3: Existência de uma circunferência com centro e raio dados.
- Postulado 4: Todos os ângulos retos são congruentes.
- Postulado 5 (Postulado de Euclides ou das Paralelas): Se duas retas intersectam uma terceira de modo que a soma dos ângulos internos de um lado é menor que dois retos, então as retas se intersectam nesse lado.

Definições iniciais

Ponto: Aquilo de que nada é parte.
Linha: Comprimento sem largura.
Superfície: Aquilo que tem comprimento e largura.
Linha Reta: Linha que está posta por igual com os pontos sobre si mesma.
Superfície Plana: Superfície que está posta por igual com retas sobre si mesma.
Ângulo Plano: Inclinação entre duas linhas no plano.
Ângulo Reto: Ângulo formado por uma perpendicular.
Ângulo Obtuso: Ângulo maior que um reto.
Ângulo Agudo: Ângulo menor que um reto.
Círculo: Figura plana contida por uma circunferência.
Centro do Círculo: Ponto central do círculo.
Diâmetro do Círculo: Reta que passa pelo centro e une dois pontos da circunferência.
Semicírculo: Figura contida pelo diâmetro e a circunferência.
Figuras Retilíneas: Figuras contidas por retas (triângulos, quadriláteros, etc.).
Triângulo Equilátero: Triângulo com três lados iguais.
Triângulo Isósceles: Triângulo com dois lados iguais.
Triângulo Escaleno: Triângulo com três lados desiguais.
Triângulo Retângulo: Triângulo com um ângulo reto.
Triângulo Obtusângulo: Triângulo com um ângulo obtuso.
Triângulo Acutângulo: Triângulo com três ângulos agudos.
Quadrado: Quadrilátero equilátero e retangular.
Oblongo: Quadrilátero retangular, mas não equilátero.
Losango: Quadrilátero equilátero, mas não retangular.
Romboide: Quadrilátero com lados e ângulos opostos iguais.
Trapézio: Quadrilátero com apenas um par de lados paralelos.
Paralelas: Retas no mesmo plano que não se intersectam.
Proposição 1: Construir um triângulo equilátero sobre uma reta limitada dada.
Proposição 31: Pelo ponto dado, traçar uma linha reta paralela à reta dada.
Proposição 10: Cortar em duas a reta limitada dada.
Proposição 30: As paralelas à mesma reta são paralelas entre si.
Proposição 47 (Teorema de Pitágoras): Em todo triângulo retângulo, o quadrado do lado oposto ao ângulo reto é igual à soma dos quadrados dos outros lados.

O quinto postulado

Nasiredin: Matemático persa que tentou provar o quinto postulado.
Teorema da soma dos ângulos de um triângulo: Afirmação central para as tentativas de prova do quinto postulado.
Quadrilátero ABCD: Usado por Nasiredin em sua tentativa de demonstração.
Geometrias Não Euclidianas: Geometrias que surgiram após a impossibilidade de provar o quinto postulado (hiperbólica e elíptica).

Ver também

Referências

Referência 1: Link para seminário sobre Euclides, com ligação inativa.
Referência 2: Cópia arquivada de um link sobre o tema, consultada em 17 de novembro de 2015.